মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে? সংজ্ঞা, বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ ও বাস্তব জীবনের ব্যবহারসহ সম্পূর্ণ গাইড

গণিতকে যদি একটি বিশাল ইমারত হিসেবে কল্পনা করা হয়, তবে মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো সেই ইমারতের আকরিক ইট বা বিল্ডিং ব্লক। স্কুলজীবনে এই ধারণাটির সাথে আমাদের পরিচয় হয়, কিন্তু এর গভীরতা এবং বাস্তব জীবনে এর প্রয়োগের ব্যাপ্তি এতটাই বিশাল যে তা স্কুল পাশের পরেও আমাদের বিস্মিত করে। আপনি হয়তো জানেন, মৌলিক সংখ্যা হলো সেই বিশেষ সংখ্যা, যাকে ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না। তবে কি আপনি জানেন, এই নিরীহ সংখ্যাগুলোই কীভাবে আপনার ক্রেডিট কার্ডের তথ্য এবং অনলাইন চ্যাটগুলোকে সুরক্ষিত রাখে? কীভাবে প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদ থেকে আধুনিক সুপার কম্পিউটার—সবাই এই ‘প্রাইম নাম্বার পাজল’ নিয়ে কাজ করছে? এই চূড়ান্ত গাইডটি কেবল সংজ্ঞা ও উদাহরণ দেবে না, বরং আপনাকে নিয়ে যাবে মৌলিক সংখ্যার ঐতিহাসিক আবিষ্কার, গাণিতিক রহস্য এবং আধুনিক প্রযুক্তিতে এর অত্যাশ্চর্য প্রয়োগের এক ‘জ্ঞান-থেকে-প্রয়োগ’ (Theory-to-Application) মাস্টার ক্লাস-এ। প্রস্তুত হোন, গণিতের এই “স্পেশাল ২৫” (১ থেকে ১০০-এর মধ্যে থাকা মৌলিক সংখ্যা) কীভাবে বিশ্বের মৌলিকতম ধারণার ভিত্তি, তা জানতে।

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো $\mathbf{১}$-এর চেয়ে বড় এমন স্বাভাবিক সংখ্যা, যার কেবল দুটি উৎপাদক বা গুণনীয়ক থাকে: $\mathbf{১}$ এবং সেই সংখ্যাটি নিজে। এটি $\mathbf{১}$ এবং নিজ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়।

উদাহরণ ও মূল বৈশিষ্ট্য:

1. উদাহরণস্বরূপ: $\mathbf{২}$, $\mathbf{৩}$, $\mathbf{৫}$, $\mathbf{৭}$, $\mathbf{১১}$, $\mathbf{১৩}$ ইত্যাদি হলো মৌলিক সংখ্যা।
2. $\mathbf{২}$ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। অন্য সকল মৌলিক সংখ্যা হলো বিজোড়।
3. $\mathbf{১}$ সংখ্যাটি মৌলিক বা যৌগিক কোনোটিই নয়।

মৌলিক সংখ্যা কাকে বলে? গাণিতিক সংজ্ঞা ও মূলনীতি

মৌলিক সংখ্যার ধারণাটি সরল, কিন্তু এর প্রভাব সুদূরপ্রসারী। গণিতের জগতে একে অনেক সময় “সংখ্যার পরমাণু” বা “পরম একক” বলা হয়।

১.১. মৌলিক সংখ্যার সহজতম সংজ্ঞা

সংখ্যার জগতে ১-এর চেয়ে বড় যে কোনো পূর্ণ সংখ্যাকে দুটি ভাগে ভাগ করা যায়: মৌলিক বা যৌগিক।

একটি সংখ্যা তখনই মৌলিক সংখ্যা হবে যখন তার গুণনীয়কের সংখ্যা হবে ঠিক দুটি।

• প্রথম গুণনীয়ক: সংখ্যাটি নিজে।
• দ্বিতীয় গুণনীয়ক: $\mathbf{১}$ (এক)।

ধরুন, আপনি ৭ সংখ্যাটি নিলেন। এটিকে $\mathbf{১}$ এবং $\mathbf{৭}$ ছাড়া অন্য কোনো পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে নিঃশেষে ভাগ করা সম্ভব নয়। তাই ৭ একটি মৌলিক সংখ্যা। এর বিপরীতে, $\mathbf{৬}$ সংখ্যাটিকে $\mathbf{১}$, $\mathbf{২}$, $\mathbf{৩}$ এবং $\mathbf{৬}$—এই চারটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়। তাই ৬ একটি মৌলিক সংখ্যা নয়, এটি একটি যৌগিক সংখ্যা।

১.২. উৎপাদক (Factor) বা গুণনীয়ক কী?

উৎপাদক বা গুণনীয়ক হলো সেই সংখ্যা, যা অন্য একটি সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে। অন্য কথায়, যখন দুটি সংখ্যাকে গুণ করে কোনো সংখ্যা পাওয়া যায়, তখন গুণিতক সংখ্যা দুটি হলো ওই ফলটির উৎপাদক।

• $\mathbf{৪} \times \mathbf{৫} = \mathbf{২০}$। এখানে ২০-এর উৎপাদক হলো ৪ ও ৫।
• মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে, এই উৎপাদকের সেটটি সবসময় $\{\mathbf{১}, \mathbf{সংখ্যাটি নিজে}\}$ হয়।

১.৩. ১ কেন মৌলিক সংখ্যা নয়?

এটি শিক্ষার্থীদের মধ্যে একটি প্রচলিত ভুল ধারণা। ১ সংখ্যাটিকে মৌলিক বা যৌগিক কোনোটিই হিসেবে গণ্য করা হয় না।

মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞার মূল ভিত্তি হলো: ঠিক দুটি উৎপাদক থাকতে হবে।

• ১-এর উৎপাদক: ১-এর উৎপাদক কেবল একটিই: $\mathbf{১}$।
• অন্যান্য মৌলিক সংখ্যা (যেমন ৫)-এর উৎপাদক: $\mathbf{১}$ এবং $\mathbf{৫}$ (দুটি)।

যেহেতু ১-এর কেবল একটি উৎপাদক, তাই এটি মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞাকে পূরণ করে না। এটিকে একক সংখ্যা (Unit) হিসেবে গণ্য করা হয়।

১.৪. যৌগিক সংখ্যা কাকে বলে? (তুলনামূলক আলোচনা)

যৌগিক সংখ্যা (Composite Number) হলো ১-এর চেয়ে বড় এমন স্বাভাবিক সংখ্যা, যা মৌলিক সংখ্যা নয়।

সংজ্ঞা অনুসারে, যে স্বাভাবিক সংখ্যার দুই-এর বেশি উৎপাদক থাকে, তাকে যৌগিক সংখ্যা বলে।

• উদাহরণ: $\mathbf{৪}$ (উৎপাদক: ১, ২, ৪), $\mathbf{৬}$ (উৎপাদক: ১, ২, ৩, ৬), $\mathbf{৮}$, $\mathbf{৯}$, $\mathbf{১০}$ ইত্যাদি।
• $\mathbf{৪}$ হলো ক্ষুদ্রতম যৌগিক সংখ্যা।

২. মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য ও প্রকারভেদ

মৌলিক সংখ্যাগুলির কিছু অনন্য বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা গণিতকে গভীরভাবে প্রভাবিত করে।

২.১. মৌলিক সংখ্যার ৪টি অপরিহার্য বৈশিষ্ট্য

মৌলিক সংখ্যার ধারণাটিকে আরও স্পষ্ট করতে এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলো জানা জরুরি:

1. একক জোড় সংখ্যা: $\mathbf{২}$ হলো একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা। এটি ব্যতীত অন্য কোনো জোড় সংখ্যা মৌলিক হতে পারে না, কারণ তাদের উৎপাদক হিসেবে সবসময় $\mathbf{২}$ থাকবে (অর্থাৎ, উৎপাদক সংখ্যা কমপক্ষে ৩টি হবে: ১, ২, এবং সংখ্যাটি নিজে)।
2. ১-এর সাথে সম্পর্ক: ১-এর চেয়ে বড় সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হয় মৌলিক, নয়তো যৌগিক।
3. গুণনের মৌলিকতা: পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য (Fundamental Theorem of Arithmetic) অনুসারে, ১-এর চেয়ে বড় যেকোনো পূর্ণ সংখ্যাকে এক বা একাধিক মৌলিক সংখ্যার গুণফল (উৎপাদকে বিশ্লেষণ) হিসেবে অনন্যভাবে প্রকাশ করা যায়। যেমন: $\mathbf{১২} = \mathbf{২} \times \mathbf{২} \times \mathbf{৩}$।
4. অসীমতা: মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা অসীম। গ্রীক গণিতবিদ ইউক্লিড খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ অব্দে এটি প্রমাণ করে গেছেন। এর মানে হলো, আপনি যত বড়ই সংখ্যা ভাবুন না কেন, তার চেয়েও বড় মৌলিক সংখ্যা সবসময়ই আছে।

২.২. ২ কেন একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা?

কারণ, মৌলিক সংখ্যা হতে হলে সংখ্যাটির কেবল দুটি উৎপাদক থাকতে হবে: $১$ এবং সংখ্যাটি নিজে। জোড় সংখ্যা মানেই হলো, সংখ্যাটিকে $২$ দিয়ে ভাগ করা যায়। অতএব, $২$ ছাড়া অন্য যে কোনো জোড় সংখ্যা ($৪, ৬, ৮, ১০, \dots$)-এর উৎপাদক সেটে কমপক্ষে $১$, $২$, এবং সংখ্যাটি নিজে—এই তিনটি সদস্য থাকবে। যেমন: $৪$-এর উৎপাদক হলো $\{১, ২, ৪\}$। যেহেতু উৎপাদক দুইটির বেশি, তাই $২$ ছাড়া অন্য কোনো জোড় সংখ্যা মৌলিক হতে পারে না।

২.৩. বিভিন্ন প্রকারের মৌলিক সংখ্যা:

মৌলিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে কিছু বিশেষ প্রকার রয়েছে, যা গণিতবিদদের আগ্রহের কেন্দ্রে:

প্রকার	সংজ্ঞা	উদাহরণ
জমজ মৌলিক সংখ্যা (Twin Primes)	মৌলিক সংখ্যাদ্বয় যাদের পার্থক্য ঠিক ২।	(৩, ৫), (৫, ৭), (১১, ১৩), (১৭, ১৯), (২৯, ৩১)
কো-প্রাইম সংখ্যা (Co-Prime Numbers)	দুটি সংখ্যা (যা মৌলিক বা যৌগিক হতে পারে) যাদের মধ্যে সাধারণ উৎপাদক শুধুমাত্র ১। এদের গ.সা.গু. (GCD) সবসময় ১ হয়।	(৪, ৯) – উভয়ই যৌগিক, কিন্তু কো-প্রাইম। (৫, ৬) – কো-প্রাইম।
মার্সেন মৌলিক সংখ্যা (Mersenne Prime)	মৌলিক সংখ্যা যা $\mathbf{M_p = 2^p – 1}$ আকারে লেখা যায়, যেখানে $p$ নিজেও একটি মৌলিক সংখ্যা। এগুলোই সাধারণত বৃহত্তম আবিষ্কৃত মৌলিক সংখ্যা হয়ে থাকে।	$M_3 = 2^3 – 1 = 7$, $M_5 = 2^5 – 1 = 31$

৩. মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের পদ্ধতি ও তালিকা

মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটি অনেক সময়সাপেক্ষ হতে পারে, বিশেষ করে যখন সংখ্যাটি অনেক বড় হয়।

৩.১. ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার তালিকা

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট ২৫টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। এই তালিকাটি মৌলিক সংখ্যার ধারণা বুঝতে সাহায্য করে।

সংখ্যা	মৌলিক সংখ্যা (Prime)	যৌগিক সংখ্যা (Composite)
$\mathbf{১-১০}$	$\mathbf{২, ৩, ৫, ৭}$	৪, ৬, ৮, ৯, ১০
$\mathbf{১১-২০}$	$\mathbf{১১, ১৩, ১৭, ১৯}$	১২, ১৪, ১৫, ১৬, ১৮, ২০
$\mathbf{২১-৩০}$	$\mathbf{২৩, ২৯}$	২১, ২২, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭, ২৮, ৩০
$\mathbf{৩১-৪০}$	$\mathbf{৩১, ৩৭}$	৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬, ৩৮, ৩৯, ৪০
$\mathbf{৪১-৫০}$	$\mathbf{৪১, ৪৩, ৪৭}$	৪২, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৮, ৪৯, ৫০
$\mathbf{৫১-৬০}$	$\mathbf{৫৩, ৫৯}$	৫১, ৫২, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৬০
$\mathbf{৬১-৭০}$	$\mathbf{৬১, ৬৭}$	৬২, ৬৩, ৬৪, ৬৫, ৬৬, ৬৮, ৬৯, ৭০
$\mathbf{৭১-৮০}$	$\mathbf{৭১, ৭৩, ৭৯}$	৭২, ৭৪, ৭৫, ৭৬, ৭৭, ৭৮, ৮০
$\mathbf{৮১-৯০}$	$\mathbf{৮৩, ৮৯}$	৮১, ৮২, ৮৪, ৮৫, ৮৬, ৮৭, ৮৮, ৯০
$\mathbf{৯১-১০০}$	$\mathbf{৯৭}$	৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৮, ৯৯, ১০০
$\mathbf{১}$ সংখ্যাটি মৌলিক বা যৌগিক কোনোটিই নয়।

৩.২. ইরাটোস্থেনিসের ছাঁকনি পদ্ধতি

মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের সবচেয়ে প্রাচীন ও কার্যকর পদ্ধতিগুলির মধ্যে অন্যতম হলো গ্রীক গণিতবিদ ইরাটোস্থেনিসের ছাঁকনি। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট সীমা পর্যন্ত সকল যৌগিক সংখ্যাকে বাতিল করে মৌলিক সংখ্যাগুলোকে বের করে আনা যায়।

মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের প্রাচীনতম পদ্ধতি

পদ্ধতির ধাপসমূহ:

1. ধাপ ১: ১ থেকে শুরু করে আপনি যে সীমা পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় করতে চান, সেই পর্যন্ত একটি সংখ্যা তালিকা তৈরি করুন।
2. ধাপ ২: $\mathbf{১}$-কে বাতিল করে দিন (কারণ এটি মৌলিক নয়)।
3. ধাপ ৩: তালিকার প্রথম মৌলিক সংখ্যাটি হলো $\mathbf{২}$। $\mathbf{২}$-কে চিহ্নিত করুন এবং ২-এর সমস্ত গুণিতক (যেমন: ৪, ৬, ৮, ১০…) তালিকা থেকে কেটে দিন।
4. ধাপ ৪: তালিকার পরবর্তী যে সংখ্যাটি কাটা পড়েনি, সেটিই হলো পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা—এটি হলো $\mathbf{৩}$। ৩-কে চিহ্নিত করুন এবং ৩-এর সমস্ত গুণিতক (৬, ৯, ১২…) তালিকা থেকে কেটে দিন।
5. ধাপ ৫: এই প্রক্রিয়াটি চালিয়ে যান। পরবর্তী মৌলিক সংখ্যা হলো $\mathbf{৫}$। ৫-এর সমস্ত গুণিতক কেটে দিন।
6. ধাপ ৬: তালিকার যে সংখ্যাগুলি শেষ পর্যন্ত কাটা পড়েনি, সেই সংখ্যাগুলিই হলো আপনার কাঙ্ক্ষিত সীমার মধ্যে থাকা মৌলিক সংখ্যা।

এই পদ্ধতিটি অপেক্ষাকৃত ছোট সংখ্যা পরিসরে মৌলিক সংখ্যা খুঁজতে অত্যন্ত কার্যকর।

৩.৩. একটি সংখ্যা মৌলিক কিনা, তা চেনার সহজ উপায়

যে কোনো বড় সংখ্যা মৌলিক কিনা, তা জানতে এই সাধারণ পরীক্ষাগুলো অনুসরণ করুন:

মৌলিকতা যাচাইয়ের ৪-পদক্ষেপের চেকলিস্ট

1. জোড় সংখ্যা পরীক্ষা: সংখ্যাটি কি $\mathbf{২}$? যদি হ্যাঁ হয়, তবে এটি মৌলিক। যদি না হয়, সংখ্যাটি কি $\mathbf{২}$-এর চেয়ে বড় কোনো জোড় সংখ্যা? যদি হ্যাঁ হয়, তবে এটি যৌগিক। যদি এটি বিজোড় হয়, তবে পরবর্তী ধাপে যান।
2. ৩-এর গুণিতক পরীক্ষা: সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল কি $\mathbf{৩}$ দ্বারা বিভাজ্য? যদি হ্যাঁ হয় (যেমন: ৫১, যার অঙ্কগুলোর যোগফল $৫+১=৬$ এবং $৬$ তিন দ্বারা বিভাজ্য), তবে এটি যৌগিক।
3. শেষ অঙ্ক পরীক্ষা: সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক কি $\mathbf{০}$ বা $\mathbf{৫}$? যদি হ্যাঁ হয় (এবং সংখ্যাটি ৫-এর বেশি হয়), তবে এটি যৌগিক।
4. বর্গমূলের পরীক্ষা: সংখ্যাটির বর্গমূল নির্ণয় করুন (যেমন, $\mathbf{৯৭}$-এর বর্গমূল প্রায় $\mathbf{৯.৮৫}$)। এখন, বর্গমূলের চেয়ে ছোট সকল মৌলিক সংখ্যা (যেমন: ২, ৩, ৫, ৭) দ্বারা সংখ্যাটিকে ভাগ করে দেখুন। যদি এদের কোনোটি দিয়েই সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য না হয়, তবে সংখ্যাটি মৌলিক। (যেমন: ৯৭ কে ২, ৩, ৫, ৭ কোনোটি দিয়েই ভাগ করা যায় না, তাই ৯৭ মৌলিক)।

মৌলিক সংখ্যার ঐতিহাসিক গুরুত্ব ও বাস্তব জীবনের ব্যবহার

মৌলিক সংখ্যা কেবল গণিত ক্লাসের বিষয় নয়, বরং এর ঐতিহাসিক ভিত্তি প্রাচীন এবং আধুনিক প্রযুক্তিতে এর ব্যবহার অবিশ্বাস্য।

৪.১. গণিতের ইতিহাসে মৌলিক সংখ্যার আবিষ্কার

মৌলিক সংখ্যার ধারণাটি সম্ভবত গণিত ইতিহাসের সবচেয়ে প্রাচীন ধারণাগুলোর মধ্যে অন্যতম। এর ঐতিহাসিক পথটি ইউক্লিডের মতো গণিতবিদদের হাত ধরে শুরু হয়েছিল।

মৌলিক সংখ্যার ইতিহাস: প্রাচীন গ্রীস থেকে আধুনিক কম্পিউটার পর্যন্ত একটি সময়রেখা

সময়কাল	আবিষ্কারক/ঘটনা	গুরুত্ব
খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ অব্দ	ইউক্লিড (Euclid)	তার বিখ্যাত “এলিমেন্টস” গ্রন্থে মৌলিক সংখ্যা যে অসীম তা প্রমাণ করেন।
খ্রিস্টপূর্ব ২৫০ অব্দ	ইরাটোস্থেনিস (Eratosthenes)	মৌলিক সংখ্যা নির্ণয়ের “ছাঁকনি” পদ্ধতির আবিষ্কার।
১৬৪০ খ্রিস্টাব্দ	পিয়ের ডি ফার্মা (Pierre de Fermat)	“ফার্মার লিটল থিওরেম” নামে পরিচিত একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রদান করেন, যা মৌলিকতা যাচাইয়ে সাহায্য করে।
১৭৪৭ খ্রিস্টাব্দ	ক্রিশ্চিয়ান গোল্ডবাখ (Christian Goldbach)	গণিতের অমীমাংসিত সমস্যা ‘গোল্ডবাখ কনজেকচার’ উত্থাপন করেন।
১৮৫৯ খ্রিস্টাব্দ	বের্নহার্ড রিমান (Bernhard Riemann)	মৌলিক সংখ্যার বন্টন নিয়ে তার বিখ্যাত “রিমান হাইপোথিসিস” প্রস্তাব করেন।
১৯৭৮ খ্রিস্টাব্দ	রিভেস্ট, শামির, অ্যাডলম্যান	দুটি বৃহৎ মৌলিক সংখ্যার ভিত্তিতে তৈরি RSA এনক্রিপশন পদ্ধতির আবিষ্কার।
১৯৯৬-বর্তমান	GIMPS প্রজেক্ট	বিশ্বের বৃহত্তম মার্সেন মৌলিক সংখ্যা আবিষ্কারের জন্য ডিস্ট্রিবিউটেড কম্পিউটিং-এর ব্যবহার।

৪.২. সাইবার সিকিউরিটি ও ক্রিপ্টোগ্রাফিতে মৌলিক সংখ্যার ব্যবহার

মৌলিক সংখ্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ব্যবহারটি হলো আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফি (Cryptography)। আপনার অনলাইন আর্থিক লেনদেন, হোয়াটসঅ্যাপ চ্যাট বা ইমেল এনক্রিপশন—সবকিছুর পেছনে রয়েছে মৌলিক সংখ্যার জাদুকরী ভূমিকা।

মৌলিক সংখ্যা কীভাবে আপনার অনলাইন নিরাপত্তা নিশ্চিত করে? (RSA এনক্রিপশন ইনসাইট)

বিশ্বের সর্বাধিক ব্যবহৃত পাবলিক-কি ক্রিপ্টোগ্রাফি সিস্টেমগুলোর মধ্যে অন্যতম হলো RSA অ্যালগরিদম (এর আবিষ্কারকদের নামের আদ্যক্ষর: Rivest, Shamir, Adleman থেকে)। এই সিস্টেমটি মৌলিক সংখ্যার একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভরশীল:

• সহজে গুণ করা যায়: দুটি বিশাল মৌলিক সংখ্যা ($p$ এবং $q$) গুণ করে একটি অত্যন্ত বড় যৌগিক সংখ্যা ($N$) তৈরি করা খুব সহজ।
• অত্যন্ত কঠিন উৎপাদক নির্ণয়: কিন্তু এই বিশাল যৌগিক সংখ্যা $N$-কে আবার তার মূল উৎপাদক দুটি ($p$ এবং $q$) খুঁজে বের করার কাজটি (একে ফ্যাক্টরাইজেশন বলে) আধুনিক সুপার কম্পিউটারগুলোর পক্ষেও প্রায় অসম্ভব। এই অসম্ভবতার উপরই আমাদের অনলাইন নিরাপত্তার ভিত্তি স্থাপিত।
• পাবলিক/প্রাইভেট কী: RSA অ্যালগরিদম $\mathbf{N}$ (গুণফল)-কে পাবলিক কী হিসেবে ব্যবহার করে, যা সবাই জানতে পারে। আর উৎপাদক $\mathbf{p}$ ও $\mathbf{q}$-কে প্রাইভেট কী হিসেবে ব্যবহার করে, যা কেবল গ্রাহক জানেন। পাবলিক কী দিয়ে ডেটা এনক্রিপ্ট করা হলেও, ডিক্রিপ্ট করার জন্য প্রাইভেট কী ($p, q$) জানতে হয়।

মৌলিক সংখ্যার এই ‘একমুখী ফাংশন’ (One-way function) বৈশিষ্ট্যের কারণেই হ্যাকাররা সহজে আপনার ব্যক্তিগত ডেটা ডিক্রিপ্ট করতে পারে না।

৪.৩. বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা খোঁজার গুরুত্ব ও চ্যালেঞ্জ

গণিতবিদরা নিয়মিতভাবে সবচেয়ে বড় মৌলিক সংখ্যা খুঁজে চলেছেন। কেন? কারণ এটি গণিতের গভীরতম রহস্যগুলিকে উন্মোচন করে এবং কম্পিউটার হার্ডওয়্যার ও অ্যালগরিদমের শক্তি পরীক্ষা করে।

বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা খোঁজা: GIMPS প্রজেক্ট ও গণিতের উন্মুক্ত গবেষণা

বর্তমানে আবিষ্কৃত বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো মার্সেন মৌলিক সংখ্যা। এগুলি খোঁজার জন্য বিশ্বের বৃহত্তম ডিস্ট্রিবিউটেড কম্পিউটিং প্রচেষ্টা, $\mathbf{GIMPS}$ ($\mathbf{G}$reat $\mathbf{I}$nternet $\mathbf{M}$ersenne $\mathbf{P}$rime $\mathbf{S}$earch) প্রজেক্ট কাজ করে।

• লক্ষ্য: এই প্রজেক্টের স্বেচ্ছাসেবীরা তাদের ব্যক্তিগত কম্পিউটারের অব্যবহৃত প্রক্রিয়াকরণ ক্ষমতা দান করেন বিশাল অঙ্কের মার্সেন সংখ্যাগুলোর মৌলিকতা যাচাই করার জন্য।
• রেকর্ড: সর্বশেষ আবিষ্কৃত বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যাটি $\mathbf{২^{৮২,৫৮৯,৯৩৩}-১}$ (৮ কোটি ২ লক্ষেরও বেশি অঙ্কের একটি সংখ্যা!), যা GIMPS প্রজেক্টের মাধ্যমেই খুঁজে পাওয়া গেছে।
• তাৎপর্য: এই ধরনের আবিষ্কার সরাসরি ক্রিপ্টোগ্রাফিতে ব্যবহৃত না হলেও, এটি সংখ্যাতত্ত্বের গভীর জ্ঞান অর্জনে এবং নতুন টেস্টিং অ্যালগরিদম তৈরি করতে সাহায্য করে।

গণিতের অমীমাংসিত রহস্য: মৌলিক সংখ্যা ও রিমান হাইপোথিসিস

মৌলিক সংখ্যার বন্টন নিয়ে গণিতের ইতিহাসে সবচেয়ে বিখ্যাত ও গুরুত্বপূর্ণ অমীমাংসিত সমস্যাটি হলো রিমান হাইপোথিসিস (Riemann Hypothesis)।

এই অনুকল্পটি মৌলিক সংখ্যার বন্টন সংক্রান্ত একটি ফাংশন ($\mathbf{\zeta}$-ফাংশন) নিয়ে কাজ করে। যদি এই অনুকল্পটি প্রমাণিত হয়, তবে তা মৌলিক সংখ্যাগুলি কীভাবে বিন্যস্ত, সে সম্পর্কে অনেক তথ্য উন্মোচিত হবে। এটি প্রমাণিত হলে গণিত এবং ক্রিপ্টোগ্রাফিতে বিশাল পরিবর্তন আসবে। এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য $\mathbf{\$1}$ মিলিয়ন মার্কিন ডলার পুরস্কার ঘোষণা করা হয়েছে।

মৌলিক সংখ্যা হলো গণিতের সেই রহস্যময় ‘বিল্ডিং ব্লক’, যা যুগ যুগ ধরে গণিতবিদদের কৌতূহল যুগিয়েছে। এই সংখ্যাগুলো তাদের সরলতা এবং অসামান্য জটিলতা দিয়ে আমাদের চিন্তাকে চ্যালেঞ্জ জানায়।

আমরা দেখলাম:

• সংজ্ঞা: মৌলিক সংখ্যা হলো $\mathbf{১}$-এর চেয়ে বড়, যার কেবল দুটি উৎপাদক ($\mathbf{১}$ এবং নিজে) থাকে।
• তাৎপর্য: $\mathbf{২}$ একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা, আর $\mathbf{১}$ মৌলিক বা যৌগিক কোনোটিই নয়।
• প্রয়োগ: RSA-এর মাধ্যমে আমাদের সাইবার সিকিউরিটি এবং ডেটা এনক্রিপশনের মেরুদণ্ড হিসেবে কাজ করে।
• ভবিষ্যৎ: রিমান হাইপোথিসিসের মতো অমীমাংসিত সমস্যাগুলো প্রমাণ করে যে, মৌলিক সংখ্যার রহস্য এখনো সম্পূর্ণ উন্মোচিত হয়নি।

আপনি স্কুল, কলেজ বা অন্য যে কোনো স্তরের শিক্ষার্থীই হোন না কেন, এই মৌলিক ধারণাগুলো বোঝা কেবল পরীক্ষার জন্য জরুরি নয়, বরং আধুনিক প্রযুক্তির ভিত্তি হিসেবে এর গুরুত্ব অপরিসীম। মৌলিক সংখ্যার এই যাত্রা এখানেই শেষ নয়, এটি গণিতের অনন্ত রহস্যের দিকে আমাদের প্রথম পদক্ষেপ।

আরও পড়ুন: এইচএসসি রেজাল্ট ২০২৫ প্রকাশিত: পাশের হার ৫৮.৮৩% | মার্কশিটসহ ফলাফল দেখুন